Sistemi lineari

Di seguito vengono riportati i passaggi che permettono di arrivare ad un sistema lineare con $n$ equazioni e $n$ incognite con $n = (N-1)(M-1)$ partendo dall' equazione di Crank-Nicolson.

Un sistema lineare può essere espresso come un' equazione sotto forma matriciale. Si considera il seguente sistema lineare in $n$ incognite $x_1, \cdots,x_n$

$$\left \{ \begin{array}{ccccccc} a_{1,1}x_1 &+& a_{1,2}x_2 &... ...{n,2}x_2 &+\cdots + & a_{n,n}x_n & = & b_n \end{array}\right .$$

La soluzione del sistema è un insieme di valori $x_1, x_2, \cdots,x_n$ che soddisfano simultaneamente tutte le equazioni. Si può scrivere il sistema con l' equazione

$$\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} &\cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & ... ...\ x_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}$$

o più semplicemente, ponendo $A = (a_{i,j})$, $x = (x_j)$ e $b = (b_j)$, come

$$Ax = b .$$ (2.14)

Senza la perdita di informazioni possiamo trasformare la funzione a tre incognite $C$ in una a due incognite. La trasformazione parte dal presupposto che si può utilizzare un solo indice $k$ in luogo di $i$ e $j$, per identificare lo spazio. $k$ si ottiene in questo modo: $k = j + iN$. L' equazione della diffusione integrata () ora assume la forma

$$\begin{split}- \lambda_x C_{k+1,n+1}+2(1 +\lambda_x + \lambda... ...,n} & +\\ \lambda_y C_{k+N,n} + \lambda_y C_{k-N,n} \end{split}$$ (2.15)

$\forall k \in [0,NM - 1]$.

Per poter scrivere equazione () nella forma del sistema () introduciamo la matrice $B$.

La matrice $B$ è una matrice sparsa. I suoi elementi sono per la maggior parte uguali a zero, ed ha al più cinque elementi diversi da zero per ogni riga. Per comprendere la sua struttura dividiamo $B$ in sottomatrici. Siano $B_1$ e $B_2$ due matrici di dimensioni $(N-1)\times (M-1)$

$$B_1 = \begin{bmatrix} -(\lambda_x + \lambda_y) & \lambda_x & 0 & ... ...dots & \lambda_x \\ & & 0 & \lambda_x & -(\lambda_x + \lambda_y) \end{bmatrix}$$

$$B = \begin{bmatrix} B_1 & B_2 & \boldsymbol 0 & \cdots & & \\ B_... ...\ & & & \ddots & \ddots & B_2\\ & & & \boldsymbol 0 & B_2 & B_1 \end{bmatrix}$$

le sue dimensioni sono dell' ordine di $(NM \times MN)$. È stato utilizzato il simbolo $\boldsymbol 0$ (grassetto) per indicare una matrice, di dimensioni opportune, con tutti gli elementi uguali a zero.

Ponendo $A = 2Id + (- B)$, il vettore delle incognite $x$ corrisponderà al vettore della concentrazione $C_{n+1}$ e sostituendo a $b$ la seguente espressione $b = (2Id + B)C_n$, il sistema $Ax = b$ diviene

$$(2Id + (- B)) \; C_{n+1} = (2Id + B)\; C_n;$$ (2.16)

$Id$ è chiamata matrice identità, i suoi elementi sulla diagonale principale sono uguali a uno, gli altri sono zero.