Metodo implicito di Crank-Nicolson

Un metodo alternativo, molto usato, fu proposto da Crank e Nicolson nel 1947. Questo metodo, descritto in ``Numerical solution of partial differential equations'' di Smith [11], consiste nel sostituire $\partial ^2 C /{\partial X}^2$ con la media delle differenze finite () al tempo n-esimo e (n+1)-esimo,

$$\begin{multline} \left ( \frac{\partial ^2 C}{{\partial X}^2} \right )_{i,j,n} ... ...n+1} - 2C_{i,j,n+1} + C_{i-1,j,n+1}}{{(\delta X)}^2} \right \} . \end{multline}$$

Nello stesso modo si ricava la media per quanto riguarda la variabile $Y$

$$\begin{multline} \left ( \frac{\partial ^2 C}{{\partial Y}^2} \right )_{i,j,n} ... ...n+1} - 2C_{i,j,n+1} + C_{i-1,j,n+1}}{{(\delta Y)}^2} \right \} . \end{multline}$$

Combinando la legge di Fick () e la () inserendo la media delle differenze finite per le variabili $X$ e $Y$ si ottiene:

$$\begin{multline} \frac{C_{i,j,n+1} - C_{i,j,n}}{\delta T} = \\ \frac{1}{2} D ... ...ac{\partial ^2 C}{{\partial Y}^2} \right )_{i,j,n+1} \right \}. \end{multline}$$

Sostituendo nella () la () e la () si ottiene:

$$\begin{multline} 2 C_{i,j,n+1} - 2 C_{i,j,n} = \\ \frac{\delta T\: D}{{(\delt... ... + C_{i,j-1,n} + C_{i,j+1,n+1} - 2 C_{i,j,n+1} + C_{i,j-1,n+1}). \end{multline}$$

Infine, ponendo $\lambda_x = \delta T\:D/{(\delta X)}^2$ e $\lambda_y = \delta T\:D /{(\delta Y)}^2$ e separando la concentrazione dell' istante $n+1$ dall' istante $n$, si ottiene l' equazione

$$\begin{split}- \lambda_x C_{i+1,j,n+1}+2(1 +\lambda_x + \lamb... ... \\ \lambda_y C_{i,j+1,n} + \lambda_y C_{i,j-1,n} & \end{split}$$ (2.13)

che esprime la concentrazione nel tempo $n+1$ della cella $(i, j)$-esima e delle sue adiacenti in funzione dello stato che hanno le celle nell' istante precedente.

Se $N$ è il numero di tasselli spaziali lungo l' asse $X$ ed $M$ il numero di tasselli spaziali lungo l' asse $Y$ allora $i\in [0,N-1]$ e $j \in [0,M-1]$. Il metodo
di Crank-Nicolson richiede la soluzione simultanea di $(N-1)(M-1)$ equazioni algebriche per ogni passo temporale $\delta T$; questo perché cinque valori incogniti della concentrazione $C$ compaiono in ciascuna equazione. Per giungere alla soluzione non si usano metodi di eliminazione diretta, ma il sistema viene risolto iterativamente. Questo metodo, in cui le soluzioni sono ottenute dalla risoluzione simultanea di equazioni è chiamato ``metodo implicito''. Si può procedere con il metodo di Crank-Nicolson usando sia intervalli temporali ampi che brevi.