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Metodo esplicito

Si considera la regione in esame coperta da una griglia tridimensionale, Figura [*], si può usare la serie di Taylor ([*]) nella direzione $ T$ ponendo $ X$ e $ Y$ costanti:

$\displaystyle C_{i,j,n+1} = C_{i,j,n} + \delta T \left (\frac{\partial C}{\part... ... T)}^2 \left ( \frac{\partial ^2 C}{{\partial T}^2} \right )_{i,j,n} + \cdots ,$ (2.6)

dalla ([*]) ne consegue che

$\displaystyle \left (\frac{\partial C}{\partial T} \right )_{i,j,n} = \frac{C_{i,j,n+1} - C_{i,j,n}}{\delta T} + O(\delta T).$ (2.7)

Il termine $ O(\delta T)$ significa che i termini omessi sono dell' ordine di $ \delta T$. Similmente si applica la serie di Taylor ([*]) nella direzione $ X$ considerando $ Y$ e $ T$ costanti

$\displaystyle C_{i+1,j,n} = C_{i,j,n} + \delta X \left (\frac{\partial C}{\part... ... X)}^2 \left ( \frac{\partial ^2 C}{{\partial X}^2} \right )_{i,j,n} + \cdots ;$ (2.8)
$\displaystyle C_{i-1,j,n} = C_{i,j,n} - \delta X \left (\frac{\partial C}{\part... ... X)}^2 \left ( \frac{\partial ^2 C}{{\partial X}^2} \right )_{i,j,n} - \cdots ;$ (2.9)

sommando la ([*]) e la [*] ricaviamo

$\displaystyle \left ( \frac{\partial ^2 C}{{\partial }X^2} \right )_{i,j,n} = \frac{C_{i+1,j,n} - 2C_{i,j,n} + C_{i-1,j,n}}{{(\delta X)}^2} + {O(\delta X)}^2.$ (2.10)

Analogamente, integrando lungo l' asse $ Y$ si ottiene

$\displaystyle \left ( \frac{\partial ^2 C}{{\partial Y}^2} \right )_{i,j,n} = \frac{C_{i,j+1,n} - 2C_{i,j,n} + C_{i,j-1,n}}{{(\delta Y)}^2} + {O(\delta Y)}^2.$ (2.11)

Sostituendo la ([*]), ([*]) e ([*]) nell' equazione della diffusione ([*]) si ottiene la legge che ci permette di calcolare la $ C_{i,j,n+1}$, cioè la concentrazione al tempo $ \delta T(n+1)$. Per fare ciò avremo necessariamente bisogno dei valori della concentrazione di partenza (tempo $ T = 0$) e dei valori al contorno. L' equazione ottenuta con lo schema di integrazione esplicito delle differenze finite è la seguente

\begin{multline} C_{i,j,n+1} = C_{i,j,n} + \frac{\delta T}{{(\delta X)}^2}D ( ... ...a T}{{(\delta Y)}^2}D ( C_{i,j+1,n} - 2C_{i,j,n} + C_{i,j-1,n}). \end{multline}

Questo metodo è computazionalmente molto efficiente; di contro la condizione di stabilità è molto severa perché impone l' uso di $ \delta T$ molto piccoli. La restrizione di stabilità si trova ponendo il coefficiente di $ C_{i,j,n}$ maggiore o uguale a zero:

$\displaystyle 1 - 2 D \left \{ \frac{\delta T}{{(\delta X)}^2} + \frac{\delta T}{{(\delta Y)}^2} \right \} \geq 0;$    
$\displaystyle D \left \{ \frac{1}{{(\delta X)}^2} + \frac{1}{{(\delta Y)}^2} \right \} \delta T \leq \frac{1}{2}.$ (2.12)

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2006-02-17