Serie di Taylor

Sia $f(x)$ una funzione reale definita in un intervallo $(a,b)\in \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in (a,b)$ si vuole costruire, se possibile, un polinomio $P_n(x)$ di grado $\leq n$ che abbia in $x_0$ il medesimo comportamento della $f(x)$, nel senso che, posto

$$P_n(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2{(x - x_0)}^2 + \dots + a_n{(x - x_0)}^n$$ (2.3)

risulti $P_n^{(h)}(x_0) = f^{(h)}(x_0),$    con $h = 0,1,...,n$. Derivando il polinomio nel punto $x_0$ tutti gli addendi dopo il primo si annullano e risulta $h! \, a_h = f^{(h)}(x_0)$ per ogni $h \in \mathbb{N}$. Ne segue necessariamente che $a_h = f^{(h)}(x_0)/h!$, sostituendo la formula nella () si ottiene

$$f(x) = \sum_{h=0}^n\frac{f^{(h)}(x_0)}{h!}{(x - x_0)}^h + R_n(x).$$ (2.4)

La condizione necessaria e sufficiente affinché aumentando $n$ la formula () approssimi meglio la funzione $f(x)$ è che $\lim_{n \rightarrow \infty} R_n(x) = 0$. Si ottiene così la cosiddetta serie di Taylor [10]

$$f(x) = \sum_{h=0}^{\infty}\frac{f^{(h)}(x_0)}{h!}{(x - x_0)}^h.$$ (2.5)